La matematică, nu trebuie să efectuezi de fiecare dată o împărțire ca să afli dacă un număr se divide exact cu altul. Pentru multe numere există reguli simple care îți permit să găsești răspunsul uitându-te la anumite cifre sau la suma lor.
Aceste reguli se numesc criterii de divizibilitate și sunt utile atât în exercițiile de bază, cât și în probleme în care trebuie să identifici rapid divizorii sau multiplii unui număr.
În acest articol vei învăța criteriile de divizibilitate cu 2, 3, 4, 5, 6, 9 și 10, cu exemple concrete pentru fiecare regulă. Vei vedea și cum poți testa același număr pentru mai mulți divizori și ce greșeli să eviți atunci când rezolvi exerciții de divizibilitate.
Ce presupune faptul că un număr este divizibil cu alt număr
Spunem că un număr natural a este divizibil cu un număr natural b, diferit de 0, dacă împărțirea lui a la b se face exact, adică fără rest.
De exemplu:
24 : 6 = 4
Împărțirea are restul 0, deci 24 este divizibil cu 6. Putem spune și că 6 este un divizor al lui 24 sau că 24 este multiplu al lui 6.
În schimb:
25 : 6 = 4, rest 1
Pentru că împărțirea nu este exactă, 25 nu este divizibil cu 6.
În matematică, relația de divizibilitate se poate scrie și astfel:
6 | 24
Se citește „6 divide 24”. Dacă un număr nu îl divide pe altul, folosim notația ∤:
6 ∤ 25
Pentru numere mici, poți verifica divizibilitatea efectuând împărțirea. Când lucrezi însă cu numere mari, această metodă poate lua mai mult timp. Criteriile de divizibilitate îți permit să stabilești dacă un număr se împarte exact la 2, 3, 4, 5, 6, 9 sau 10 fără să efectuezi împărțirea propriu-zisă. În continuare, vom vedea regulile de divizibilitate pentru fiecare dintre aceste numere și cum le aplici în exerciții.
Criteriile de divizibilitate pe care trebuie să le știi
Criteriile de divizibilitate sunt reguli prin care poți verifica rapid dacă un număr se divide exact cu altul, fără să efectuezi împărțirea. În funcție de divizor, trebuie să urmărești ultima cifră, ultimele două cifre sau suma cifrelor numărului.
Criteriul de divizibilitate cu 2
Un număr este divizibil cu 2 dacă ultima sa cifră este pară, adică 0, 2, 4, 6 sau 8.
De exemplu, 438 este divizibil cu 2, deoarece ultima cifră este 8. În schimb, 437 nu este divizibil cu 2, deoarece se termină în 7.
Regula se aplică indiferent cât de mare este numărul. Pentru 12.586, de exemplu, este suficient să verifici ultima cifră: 6 este par, deci numărul este divizibil cu 2.
Criteriul de divizibilitate cu 3
Un număr este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3.
Pentru numărul 1.245, calculăm:
1 + 2 + 4 + 5 = 12
12 este divizibil cu 3, deci și 1.245 este divizibil cu 3.
Pentru 1.247, suma cifrelor este 14. Cum 14 nu se divide exact la 3, nici 1.247 nu este divizibil cu 3.
Criteriul de divizibilitate cu 4
Pentru criteriul de divizibilitate cu 4, te uiți doar la numărul format din ultimele două cifre. Dacă acesta este divizibil cu 4, atunci și numărul inițial este divizibil cu 4.
De exemplu, pentru 1.316 verificăm 16:
16 : 4 = 4
Prin urmare, 1.316 este divizibil cu 4.
În cazul lui 1.318, ultimele două cifre formează numărul 18, care nu este divizibil cu 4. Așadar, nici 1.318 nu este divizibil cu 4.
Criteriul de divizibilitate cu 5
Un număr este divizibil cu 5 dacă ultima sa cifră este 0 sau 5.
Astfel:
735 este divizibil cu 5, deoarece se termină în 5.
1.240 este divizibil cu 5, deoarece se termină în 0.
738 nu este divizibil cu 5.
Este unul dintre cele mai rapide criterii de divizibilitate, deoarece trebuie să verifici o singură cifră.
Criteriul de divizibilitate cu 6
Un număr este divizibil cu 6 dacă îndeplinește simultan două condiții:
- este divizibil cu 2;
- este divizibil cu 3.
Să verificăm numărul 234.
Ultima cifră este 4, deci numărul este divizibil cu 2. Apoi calculăm suma cifrelor:
2 + 3 + 4 = 9
9 este divizibil cu 3. Cele două condiții sunt îndeplinite, deci 234 este divizibil cu 6.
Dacă una dintre condiții nu este îndeplinită, numărul nu este divizibil cu 6.
Criteriul de divizibilitate cu 9 și 10
Criteriul de divizibilitate cu 9 seamănă cu cel pentru 3. Un număr este divizibil cu 9 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 9.
Pentru 4.536:
4 + 5 + 3 + 6 = 18
18 este divizibil cu 9, deci și 4.536 este divizibil cu 9.
Pentru divizibilitatea cu 10, regula este și mai simplă: numărul trebuie să aibă ultima cifră 0.
De exemplu, 750, 2.340 și 18.920 sunt divizibile cu 10, în timp ce 755 nu este.
Poți reține mai ușor aceste reguli de divizibilitate dacă observi ce trebuie verificat: ultima cifră pentru 2, 5 și 10, ultimele două cifre pentru 4, suma cifrelor pentru 3 și 9, iar pentru 6 trebuie să verifici atât criteriul pentru 2, cât și pe cel pentru 3.
Astfel de reguli sunt utile și pentru că îți oferă repere clare de care te poți folosi atunci când înveți și rezolvi exerciții. În loc să memorezi exemple izolate, reții o regulă pe care o poți aplica apoi în multe situații. Am adunat mai multe idei de acest fel în articolul despre cum să reții mai ușor ce înveți.
Cum aplici criteriile de divizibilitate: exemple concrete
Un număr poate fi divizibil cu mai multe numere în același timp. Ca să verifici, aplici pe rând criteriul de divizibilitate corespunzător fiecărui divizor.
| Criteriul de divizibilitate | Exemple concrete sau particularități |
| Cu 2 | 428 este divizibil cu 2 deoarece ultima cifră, 8, este pară. În schimb, 735 nu este divizibil cu 2, deoarece se termină într-o cifră impară. |
| Cu 3 | Pentru 1.236, suma cifrelor este 1 + 2 + 3 + 6 = 12. Cum 12 este divizibil cu 3, și 1.236 este divizibil cu 3. |
| Cu 4 | Pentru 5.292, verificăm doar ultimele două cifre: 92 : 4 = 23. Prin urmare, 5.292 este divizibil cu 4. |
| Cu 5 | 1.125 și 7.840 sunt divizibile cu 5 deoarece se termină în 5, respectiv în 0. Un număr care se termină cu orice altă cifră nu este divizibil cu 5. |
| Cu 6 | Pentru 234, verificăm două criterii: numărul este par, deci este divizibil cu 2, iar 2 + 3 + 4 = 9, deci este divizibil și cu 3. Prin urmare, 234 este divizibil cu 6. |
| Cu 9 | Pentru 3.456, suma cifrelor este 3 + 4 + 5 + 6 = 18. Deoarece 18 este divizibil cu 9, și 3.456 este divizibil cu 9. |
| Cu 10 | 7.840 este divizibil cu 10 deoarece ultima cifră este 0. 1.125 nu este divizibil cu 10, chiar dacă este divizibil cu 5. |
Tabelul arată și de ce este util să cunoști toate regulile de divizibilitate. De exemplu, faptul că 234 este divizibil cu 2 nu înseamnă automat că este divizibil și cu 4, iar pentru divizibilitatea cu 6 trebuie să verifici două condiții: divizibilitatea cu 2 și cu 3.
Greșeli frecvente la exercițiile de matematică cu divizibilitate
Cele mai multe greșeli apar atunci când aplici regula potrivită unui alt divizor sau verifici doar o parte din condițiile cerute. Înainte să dai răspunsul, identifică numărul cu care verifici divizibilitatea și aplică criteriul de divizibilitate corespunzător.
- Confundarea criteriului pentru 3 cu cel pentru 9. În ambele cazuri, aduni cifrele care alcătuiesc numărul, dar suma obținută trebuie să fie divizibilă cu 3, respectiv cu 9. De exemplu, 123 are suma cifrelor 6, deci este divizibil cu 3, dar nu și cu 9.
- Confundarea divizorului cu multiplul. Dacă 6 divide 24, atunci 6 este divizor al lui 24, iar 24 este multiplu al lui 6. Cele două noțiuni exprimă aceeași relație, privită din direcții diferite.
- Aplicarea unei singure condiții pentru divizibilitatea cu 6. Un număr trebuie să fie divizibil atât cu 2, cât și cu 3. Faptul că este par nu este suficient.
- Presupunerea că orice număr care se termină în 5 este divizibil cu 10. Criteriul de divizibilitate cu 10 cere ca ultima cifră să fie 0, în timp ce pentru 5 ultima cifră poate fi 0 sau 5.
- Efectuarea împărțirii de fiecare dată. Pentru numerele 2, 3, 4, 5, 6, 9 și 10 poți folosi direct regulile de divizibilitate, ceea ce simplifică verificarea, mai ales când lucrezi cu numere mari.
Greșelile pot fi și un indiciu bun despre ce trebuie să mai exersezi. Dacă observi că repeți același tip de eroare, încearcă să identifici regula pe care nu ai înțeles-o sau etapa în care apare confuzia. Am explicat mai multe despre metodele de studiu și obiceiurile care îi ajută pe elevi să progreseze în articolul despre cum învață elevii de 10.
Criteriile de divizibilitate devin mai simple prin exercițiu
Odată ce ai înțeles ce trebuie să urmărești pentru fiecare număr, criteriile de divizibilitate devin ușor de aplicat. Nu trebuie să faci de fiecare dată împărțirea: uneori este suficient să verifici ultima cifră, alteori ultimele două cifre sau suma cifrelor.
Exercițiile te ajută să recunoști tot mai repede regula potrivită și să o aplici corect, inclusiv atunci când același număr trebuie verificat pentru mai mulți divizori.
În Biblioteca Digitală Upper.School găsești lecții și resurse pentru matematică și alte materii, pe care le poți folosi pentru recapitulare și exercițiu. Ai acces gratuit timp de 14 zile, astfel încât să poți testa platforma și să vezi cum te ajută în pregătirea ta.
Principiul lui Pascal explicat simplu: formulă, exemple și aplicații
O forță aplicată într-un punct al unui lichid poate produce un efect într-o altă parte a sistemului. Pe această idee se bazează Principiul lui Pascal, una dintre legile fizicii care explică funcționarea sistemelor hidraulice. Îl întâlnim în mecanisme foarte diferite,...
Pronumele în limba română: tipuri, forme și exemple explicate pe înțelesul elevilor
Pronumele apare constant în comunicarea de zi cu zi. Spunem „eu”, „tu”, „ea”, „acesta”, „al meu” fără să ne gândim la regula gramaticală din spatele fiecărei forme. La școală, însă, trebuie să știm să le recunoaștem, să le diferențiem și să le analizăm în funcție de...
Circuite electrice în serie și paralel. Diferențe, formule și calculul rezistenței
Ce se întâmplă cu restul circuitului dacă una dintre componente nu mai funcționează? Uneori curentul nu mai circulă deloc, alteori continuă să treacă prin celelalte ramuri. Diferența ține de modul în care sunt conectate componentele. La fizică, vei întâlni frecvent...